合作型双二次 Boolean 网络中的大吸引子：第一部分

Boolean 网络自 S. Kauffman 于 20 世纪 60 年代提出将其作为基因调控网络模型以来，一直备受关注。这类系统的特征在于定义在 Boolean 状态空间上，并在离散时间步长进行同步更新。对于生物应用而言，特别重要的是每个变量的入度受固定常数限制的网络，正如 Kauffman 在其原始论文中所强调的那样。一个重要的问题是：网络拓扑需满足何种条件才能排除系统中指数级长度的周期轨道。本文考虑了所有变量间具有正反馈互连的系统（称为合作型系统），这在连续情形下能保证非常稳定的动力学。我们证明，对于任意常数 0<c<2 且当 n 足够大时，存在 n 维合作型 Boolean 网络，其中每个变量的入度和出度均受限于 2，但仍包含长度至少为 c^n 的周期轨道。在本文的第二部分，我们将证明一个逆结果，表明任何具有此类动力学行为的系统在某种意义上必须与所描述的示例相似。