关于阈值与 XOR 布尔网络控制节点数的研究

布尔网络（BNs）是基因调控网络及许多其他生物系统的重要模型。本文研究了具有度约束的阈值与 XOR 布尔网络的最小能控性问题。首先，我们推导了与下界相关的不等式以及若干类可控多数型阈值布尔网络控制节点数的部分上界。其次，我们构造了可控多数型布尔网络及包含正负系数的布尔阈值函数网络，使得这些网络与少量控制节点相关联。第三，我们推导出了一般 XOR 布尔网络（其更新规则基于 XOR 逻辑算子）能控性的线性代数充要条件，并构造了用于计算一般 XOR 布尔网络控制节点集与控制信号的多项式时间算法。最后，我们利用环论与线性代数，为一类称为 $k$-$k$-XOR-BNs 的度约束 XOR 布尔网络建立了若干最优情形上界。特别地，我们证明了对于任意正整数 $m \geq 2$ 及任意奇整数 $k \in [3, 2^{m} - 1]$，存在一个具有 1 个控制节点的 $2^{m}$ 节点可控 $k$-$k$-XOR-BN。我们的结果为基因调控网络等网络化系统的最小干预提供了理论见解。