布尔网络观察节点数的研究

布尔网络（BN）若满足任意初始状态可由输出序列唯一确定，则称为可观测。在现有关于布尔网络可观测性的文献中，几乎没有研究观察节点数量与布尔网络可观测性之间的关系，这是一项重要且实际的问题。本文主要关注三类具有 n 个节点的布尔网络（即 K-AND-OR-BN、K-XOR-BN 和 K-NC-BN，其中 K 为每个节点的输入节点数，NC 表示嵌套可 Canalyzing），研究这些网络观察节点数量的上界和下界。首先，我们发展了一种新方法，利用信息熵推导观察节点数量的通用下界，得出结论：为确保任何 K-AND-OR-BN 可观测，观察节点数量不能小于 $\left[(1-K)+\frac{2^{K}-1}{2^{K}}\log_{2}(2^{K}-1)\right]n$，而对 K-NC-BN 也得到类似的下界。随后，本文提出两种新方法，通过统计时刻 t=1 时相同状态的数量以及固定点的数量，推导任意类型布尔网络的通用下界。另一方面，通过对几类布尔网络进行组合分析，推导了非平凡的上界。具体而言，指出 $\left(\frac{2^{K}-K-1}{2^{K}-1}\right)n$、1 和 $\lceil \frac{n}{K}\rceil$ 分别是 K-AND-OR-BN、K-XOR-BN 和 K-NC-BN 的最佳情况上界。