不可定向曲面的纯映射类群的周期性

我们证明，对亏格 $g\geqslant 2$ 且带有 $k\geqslant 1$ 个标记点的不可定向闭曲面，其纯映射类群 $\mathcal{N}_{g}^{k}$ 对每个使其具有 $p$-挠率的奇素数 $p$ 具有 $p$-周期上同调。利用 Yagita 不变量以及由 $p$ 阶子群表示得到的上同调类，我们得到当 $g\geqslant 3$ 且 $k\geqslant 1$ 时 $p$-周期小于或等于 $4$。此外，结合 Nielsen 实现定理以及由 $p$ 阶循环子群的正规化子与中心化子给出的 $p$-周期的刻画，我们证明只要 $\mathcal{N}_{g}^{k}$ 具有 $p$-周期上同调、$g\geqslant 3$ 且 $k\geqslant 0$，其 $p$-周期就以 $4$ 为下界。这些结果部分回答了 G. Hope 与 U. Tillmann 提出的问题。