胖Sierpinski垫片的周期唯一编码

对 $\beta>1$，令 $S_\beta$ 为由迭代函数系统 $$\left\{f_{\alpha_0}(x,y)=\Big(\frac{x}{\beta},\frac{y}{\beta}\Big), \quad f_{\alpha_1}(x,y)=\Big(\frac{x+1}{\beta}, \frac{y}{\beta}\Big), \quad f_{\alpha_2}(x,y)=\Big(\frac{x}{\beta}, \frac{y+1}{\beta}\Big)\right\}$$ 生成的Sierpinski垫片。若 $\beta\in(1,2]$，则重叠区域 $O_\beta:=\bigcup_{i\ne j}f_{\alpha_i}(\Delta_\beta)\cap f_{\alpha_j}(\Delta_\beta)$ 非空，其中 $\Delta_\beta$ 为 $S_\beta$ 的凸包。本文研究唯一编码集 $$\mathbf U_\beta:=\left\{(d_i)_{i=1}^\infty\in\{(0,0), (1,0), (0,1)\}^\mathbb N: \sum_{i=1}^\infty d_{n+i}\beta^{-i}\in S_\beta\setminus O_\beta~\forall n\ge 0\right\}$$ 的周期编码。更确切地说，对每个 $k\in\mathbb N$，我们确定最小基 $\beta_k\in(1,2]$，使得对任意 $\beta>\beta_k$，集合 $\mathbf U_\beta$ 包含最小周期为 $k$ 的序列。我们证明每个 $\beta_k$ 均为Perron数，且序列 $(\beta_k)$ 有无穷多个聚点。进一步，我们证明 $\beta_{3k}>\beta_{3\ell}$ 当且仅当 $k$ 在Sharkovskii序中大于 $\ell$；序列 $(\beta_{3\ell+1})$、$(\beta_{3\ell+2})$ 分别单调递减收敛于同一极限点 $\beta_a\approx 1.55898$。特别地，我们发现对所有 $m\ge 0$ 有 $\beta_{6m+4}=\beta_{3m+2}$。由此我们证明：若 $\mathbf U_\beta$ 包含最小周期为 $2$ 或 $4$ 的序列，则 $\mathbf U_\beta$ 包含任意 $k\in\mathbb N$ 的最小周期为 $k$ 的序列。