一类斜积映射的周期点与测度

我们考虑 M. Shub 在 [42] 中构造的 $\mathbb{T}^2\times \mathbb{T}^2$ 空间上非游荡集不稳定的部分双曲斜积的开集。我们证明存在此类微分同胚的一个开集 $\mathcal{U}$，使得若 $F_S\in \mathcal{U}$，则其最大熵测度唯一、双曲，并且典型地描述了周期点的分布。此外，此类 $F_S\in \mathcal{U}$ 的非游荡集包含闭不变子集，这些子集承载的熵任意接近 $F_S$ 的拓扑熵，且其中的动力学共轭于有限型子移位。在底动力学的一个附加假设下，我们验证 $F_S$ 保持唯一的 SRB 测度，该测度是物理的，其基盘具有满 Lebesgue 测度且与最大熵测度重合。我们还证明存在 $\mathcal{U}$ 的一个剩余子集 $\mathcal{R}$，使得若 $F_S\in \mathcal{R}$，则 $F_S$ 的拓扑熵与周期熵相等，$F_S$ 是渐近每扩张的，具有周期轨道的次指数增长率，并容许一个带嵌入的主强忠实符号扩张。