磁布洛赫能带的 Peierls 替换

我们考虑二维中的薛定谔算子，其具有周期性势场和强恒定磁场，并受到缓慢变化的非周期性标量势 $\phi(\epsilon x)$ 和矢量势 $A(\epsilon x)$ 的微扰，其中 $\epsilon\ll 1$。对于每个孤立的磁布洛赫能带族，我们推导出了一个有效哈密顿量，该哈密顿量在酉等价意义上等同于薛定谔算子限制在相应的几乎不变子空间上。在领头阶，我们的有效哈密顿量可以解释为物理学中广泛用于非磁布洛赫能带的 Peierls 替换哈密顿量。然而，虽然非磁布洛赫能带的相应结果已得到充分理解，但对于磁布洛赫能带，甚至如何在形式表达式之外定义 Peierls 替换哈密顿量尚不清楚。困难的根源在于拓扑阻碍：磁布洛赫丛通常不可平凡化。因此，磁布洛赫能带的 Peierls 替换哈密顿量结果是作用在二维环面（约化布里渊区）上的非平凡矢量丛截面上的伪微分算子。我们贡献的一部分是为此类伪微分算子构建了合适的 Weyl 演算。作为我们结果的应用，我们为具有陈数 $\theta\in \mathbb{Z}$ 的磁布洛赫能带构建了一族新的规范单带哈密顿量 $H^B_{\theta,q}$，该族哈密顿量推广了单个非磁布洛赫能带的 Hofstadter 模型 $H^B_{\rm Hof} = H^B_{0,1}$。结果表明，对于任意 $\theta$，$H^B_{\theta,q}$ 与 $H^{q^2B}_{\rm Hof}$ 等谱，且所有能谱均与其著名的黑白蝴蝶图中描绘的 Hofstadter 能谱一致。然而，对应于霍尔电导的子带陈数取决于 $\theta$ 和 $q$，因此这些模型导致了不同的彩色蝴蝶图。