具有自再生分形的 Peano 连续统

我们探讨 Masayoshi Hata 的问题：是否每个 Peano 连续统都是拓扑分形？若存在一个由 $X$ 上自映射组成的有限族 $\mathcal{F}$，使得 $X=\bigcup_{f\in\mathcal{F}}f(X)$，且对 $X$ 的任意开覆盖 $\mathcal{U}$，存在 $n\in\mathbb{N}$，使得对所有映射 $f_1,\dots,f_n\in\mathcal{F}$，集合 $f_1\circ\dots\circ f_n(X)$ 包含于某个 $U\in\mathcal{U}$ 中，则称紧空间 $X$ 为拓扑分形。本文中我们提出一种扩展拓扑分形的思路，并证明：若 Peano 连续统包含具有非空内部的所谓自再生分形，则其为拓扑分形。若对任一非空开子集 $U$，$A$ 在某一在 $A\setminus U$ 上为常值的映射族下是拓扑分形，则称 Hausdorff 拓扑空间 $A$ 为自再生分形。自再生分形的概念更好地反映了自相似性的直观感知。我们给出若干属于自再生的经典分形。