零维空间中的拓扑分形与 Banach 分形探测

若拓扑空间 $X$ 满足 $X=\bigcup_{f\in\mathcal F}f(X)$，其中 $\mathcal F$ 是 $X$ 的连续自映射的有限系统，且该系统在拓扑意义下是收缩的，即对于 $X$ 的每个开覆盖 $\mathcal U$，存在数 $n\in\mathbb N$ 使得对任意函数 $f_1,\dots,f_n\in \mathcal F$，集合 $f_1\circ\dots\circ f_n(X)$ 包含于某个 $U\in\mathcal U$ 中，则称 $X$ 为拓扑分形。此外，若所有 $f\in\mathcal F$ 关于某个生成 $X$ 拓扑的度量具有 Lipschitz 常数 $<1$，则该空间 $X$ 称为 Banach 分形。已知每个拓扑分形都是紧且可度量的。我们证明：零维紧可度量化空间 $X$ 是拓扑分形，当且仅当 $X$ 是 Banach 分形，当且仅当 $X$ 是不可数集，或 $X$ 是可数集且其散布高度 $\hbar(X)$ 为后继序数。对于可数紧空间，此分类由 M.Nowak 最近证明。