Banach 空间与 Fréchet 空间弱拓扑的网络

我们开始系统地研究在弱拓扑下为 $\aleph$-空间的 Fréchet 空间。若拓扑空间 $X$ 具有可数 $k$-网络或 $\sigma$-局部有限 $k$-网络，则分别称其为 $\aleph_0$-空间或 $\aleph$-空间。我们的动机源于 Corson (1966) 的以下结果：若赋予紧开拓扑的 Tychonoff 空间 $X$ 上的连续实值函数空间 $C_{c}(X)$ 是 Banach 空间，则赋予弱拓扑的 $C_{c}(X)$ 是 $\aleph_0$-空间当且仅当 $X$ 是可数的。我们将 Corson 的结果推广如下：若空间 $E:=C_{c}(X)$ 是 Fréchet 局部凸空间 (lcs)，则赋予其弱拓扑 $\sigma(E,E')$ 的 $E$ 是 $\aleph$-空间，当且仅当 $(E,\sigma(E,E'))$ 是 $\aleph_0$-空间，当且仅当 $X$ 是可数的。我们获得了 Fréchet 局部凸空间在弱拓扑下成为 $\aleph$-空间的必要条件和一些充分条件。我们证明了在弱拓扑 $\sigma(E,E')$ 下的自反 Fréchet 局部凸空间 $E$ 是 $\aleph$-空间，当且仅当 $(E,\sigma(E,E'))$ 是 $\aleph_0$-空间，当且仅当 $E$ 是可分的。然而，我们指出具有弱拓扑的不可分 Banach 空间 $\ell_{1}(\mathbb{R})$ 是一个 $\aleph$-空间。