为波动方程的 $\operatorname{T}$-coercive 方法铺路

本文迈出了引入时空变换算子 $\operatorname{T}$ 的第一步，该算子在有界 Lipschitz 域上为波动方程在空间与时间上的弱变分公式建立 $\operatorname{T}$-coercivity。作为模型问题，我们研究常微分方程 (ODE) $u'' + \mu u = f$（其中 $\mu>0$），它通过对空间进行 Fourier 展开与波动方程相联系。针对其弱形式，我们引入了变换算子 $\operatorname{T}_\mu$，该算子建立了双线性形式的 $\operatorname{T}_\mu$-coercivity，从而产生误差估计与 $\mu$ 无关的无条件稳定 Galerkin-Bubnov 公式。当前方法的新颖之处在于变换对 $\mu$ 的显式依赖性，当其扩展到偏微分方程框架时，将产生一个同时作用于时间和空间的算子。我们特别关注将试探空间保持为标准 Sobolev 空间以简化误差分析，而仅修改测试空间。数值例子对理论结果进行了补充。