Pauli图、黎曼假设、哥德巴赫对

考虑Pauli群$\mathcal{P}_q=<X,Z>$，其中幺正量子生成元$X$（移位）和$Z$（时钟）通过$X|s> =|s+1>$和$Z|s> =\omega^s |s>$作用于$q$维希尔伯特空间的向量，其中$\omega=\exp(2i\pi/q)$。已发现$\mathcal{P}_q$内最大互易集的数量由戴德金psi函数$\psi(q)=q \prod_{p|q}(1+\frac{1}{p})$（$p$为素数）控制\cite{Planat2011}，并且存在一个特定不等式$\frac{\psi (q)}{q}>e^{\gamma}\log \log q$（涉及欧拉常数$\gamma \sim 0.577$），该不等式仅在特定低维度$q \in \mathcal {A}=\{2,3,4,5,6,8,10,12,18,30\}$处成立。集合$\mathcal{A}$与完全哥德巴赫整数集合$\mathcal{A} \cup \{1,24\}$密切相关，即由所有素数$p2$）等价于黎曼假设。引入用于估计哥德巴赫对数量$g(q) \sim R(q) \frac{q}{\ln^2 q}$的Hardy-Littlewood函数$R(q)=2 C_2 \prod_{p|n}\frac{p-1}{p-2}$（其中$C_2 \sim 0.660$为孪生素数常数），表明新不等式$\frac{R(N_r)}{\log \log N_r} \gtrapprox e^{\gamma}$也等价于黎曼假设。本文在量子比特对易结构的背景下讨论了这些数论性质。