具有连续系数的散度型椭圆问题的病态解

我们构造了一个函数 $u \in W^{1,1}_{\mathrm{loc}} (B(0,1))$，它在分布意义下是 $\Div (A \nabla u)=0$ 的解，其中 $A$ 是连续的，且对于 $p > 1$ 有 $u \not \in W^{1,p}_{\mathrm{loc}} (B(0,1))$。我们还给出了一个函数 $u \in W^{1,1}_{\mathrm{loc}} (B(0,1))$，使得对于每个 $p < \infty$ 有 $u \in W^{1,p}_{\mathrm{loc}}(B(0,1))$，$u$ 满足 $\Div (A \nabla u)=0$ 且 $A$ 连续，但 $u \not \in W^{1, \infty}_{\mathrm{loc}}(B(0,1))$。