线性弹性对偶形式的块光滑算子与多重网格法

线性弹性的对偶形式与原始形式不同，它不受闭锁问题影响，因其以应力为主要未知量。因此对于近不可压缩与不可压缩材料颇具吸引力。采用混合有限元离散化将导出具有特定结构的——可能很大的——线性鞍点系统。尽管针对混合平面弹性问题已有高效的多重网格法，但据作者所知，尚无现成可用的针对一般对偶形式的多重网格法。构建线性弹性对偶形式的多重网格法面临两大主要挑战。首先，在不可压缩极限下，与应力相关的矩阵块为半正定。其次，应力属于 $\textbf{H}_{\text{div}}$，而适用于 $\textbf{H}^1$ 正则问题的标准光滑算子无法应用。我们提出了一种用于线性弹性对偶形式的基于块的新颖光滑算子。我们讨论了块子问题的不同类型局部边界条件。基于我们的块光滑算子，我们构建了求解所得鞍点问题的多重网格法，并考察其效率与鲁棒性。数值实验表明 Robin 条件最契合多重网格框架，最终带来多重网格级的性能。