带重组的莫兰模型中的划分、对偶与连锁不平衡

我们考虑了带重组的莫兰模型，该模型描述了在重组和重采样下群体遗传组成的演化。有 $n$ 个位点（或基因座），每个位点有有限个字母（或等位基因），且我们不做任何缩放假设。特别地，我们不假设扩散极限。我们考虑如下边际祖先重组过程。令 $S = \{1,...,n\}$ 且 $\mathcal A=\{A_1, ..., A_m\}$ 为 $S$ 的一个划分。我们关注个体 $1$ 中位于 $A_1$ 的位点上的字母、$...$、以及个体 $m$ 中位于 $A_m$ 的位点上的字母的联合概率，其中个体是从当前群体中无放回抽样的。随时间向后追踪这些位点的祖先，得到 $S$ 的划分集上的一个过程，在扩散极限下，该过程变为 $n$-位点祖先重组图的边缘化版本。借助容斥原理，我们证明了与给定划分对应的类型分布可以借助所谓的重组子和采样函数以系统的方式表示。所有阶的相关函数（在遗传学中称为连锁不平衡）也同样如此。我们证明了划分过程（时间向后）与莫兰群体过程（时间向前）是对偶的，其中采样函数起到对偶函数的作用。这为 Bobrowski、Wojdyla 和 Kimmel (2010) 的工作提供了新视角。该结果还导出了关于采样函数期望的常微分方程的封闭系统，其可转化为期望类型分布与期望连锁不平衡。