部分对偶亏格多项式与带符号相交图

近来，Gross、Mansour 和 Tucker 引入了带 ribbon 图的部分对偶亏格多项式，作为一个按亏格枚举该 ribbon 图的部分对偶的生成函数。它类似于拓扑图论中被广泛研究的、按亏格枚举给定图所有嵌入的多项式。为研究部分对偶亏格多项式，只需关注 bouquet，即只有一个顶点的 ribbon 图。在本文中，我们进一步表明 bouquet 的部分对偶亏格多项式本质上依赖于该 bouquet 的带符号相交图，而非 bouquet 本身。也就是说，具有相同带符号相交图的 bouquet 将具有相同的部分对偶亏格多项式。随后我们证明，bouquet 的部分对偶亏格多项式含有非零常数项当且仅当其带符号相交图为正且二部的。最后我们考虑由 Gross、Mansour 和 Tucker 提出的一个猜想：不存在部分对偶亏格多项式仅有一个非常数项的可定向 ribbon 图；我们通过分别考虑不可定向情形与可定向情形，刻画了部分对偶亏格多项式仅有一项的非空 bouquet。