基于物理信息神经网络的 Leray-Burgers 方程参数估计与自适应求解

本文中，我们采用物理信息神经网络（PINN）来估计 Leray-Burgers 方程中特征波长参数（称为平滑参数）$\alpha$ 的实际取值范围。Leray-Burgers 方程作为无粘 Burgers 方程的正则化，引入具有特征波长 $\alpha$ 的 Helmholtz 滤波器来替代通常的对流速度，从而诱导出正则化对流速度。该滤波器使方程特征线略微弯曲且互不相交，从而得到时间上的全局解。通过开展具有不同初始条件的计算实验，我们确定了能紧密逼近无粘 Burgers 方程解的 $\alpha >0$ 的实际范围。我们的发现表明 $\alpha$ 的值依赖于初始数据：对连续初始剖面，$\alpha$ 的实际范围在 0.01 到 0.05 之间；对不连续初始剖面，则在 0.01 到 0.03 之间。Leray-Burgers 方程在存在训练数据的时间域内捕捉激波与稀疏波。然而，当时间域超出训练区间时，数据驱动的正向计算表明 PINN 生成的预测开始偏离精确解。本研究也凸显了 Leray-Burgers 方程在真实实际问题——具体而言交通状态估计——中的有效性与高效性。