nPINNs：用于参数化非局部通用拉普拉斯算子的非局部物理信息神经网络——算法与应用

物理信息神经网络（PINNs）在基于稀疏、含噪、非结构化及多保真度数据的微分与积分方程反问题中表现有效。PINNs将所有可用信息纳入损失函数，从而将原始问题转化为优化问题。本文中，我们将PINNs推广至非局部泊松与非局部湍流等积分方程的参数与函数推断，并称其为非局部PINNs（nPINNs）。本文的贡献有三方面。首先，我们提出一种统一的非局部算子，当其中一个算子参数即非局部相互作用半径 $\delta$ 趋于零时收敛到经典拉普拉斯算子，当 $\delta$ 趋于无穷时收敛到分数阶拉普拉斯算子。该通用算子构成了经典拉普拉斯与分数阶拉普拉斯算子的超集，因而具有拟合广泛数据集的潜力。我们给出了关于 $\delta$ 的理论收敛速率，并通过数值实验加以验证。其次，我们利用nPINNs估计两个参数 $\delta$ 和 $\alpha$。损失函数的强非凸性产生多个（良好的）局部极小，揭示了算子模仿现象的发生：不同估计参数对可产生精度相当的多个解。第三，我们提出另一种具有空间变阶数 $\alpha(y)$ 的非局部算子，其更适用于槽道湍流建模。我们的结果表明，nPINNs可联合推断该函数及 $\delta$。此外，这些参数相对于雷诺数表现出普适行为，这一发现有助于我们理解壁面有界湍流中的非局部相互作用。