超椭圆曲线 Jacobian 上的配对

考虑定义在有限域上的亏格为二的超椭圆曲线的 Jacobian。在对该 Jacobian 的自同态环施加某些限制的条件下，我们给出了其所有非退化、双线性、反对称且 Galois 不变的配对的显式描述。由此描述可知，此类配对的计算效率不可能高于 Weil 配对。为建立这一结果，我们需要 Frobenius 自同态在 Jacobian 的 $l$-挠子群上的表示的显式描述，本文给出了该描述。特别地，我们证明了如果 Frobenius 自同态的特征多项式模 $l$ 分解为线性因子，则 Frobenius 是可对角化的。最后，在限制 Frobenius 元素属于自同态环的某个特定子环的条件下，我们证明了若 Frobenius 自同态的特征多项式模 $l$ 分解为线性因子，则关于 $l$ 的 Jacobian 的嵌入次数与总嵌入次数相等。