p进度量保持函数及其类似物

有理数域的 $p$ 进完备化 $\mathbb{Q}_p$ 诱导出一种不同于实数上通常的 $| \cdot |$ 的绝对值 $|\cdot|_p$。在本文中，我们将函数 $f \colon \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$（其与由 $|\cdot|_p$ 生成的 $p$ 进度量 $d_p$ 的复合在 $\mathbb{Q}_p$ 上仍是一个度量）与通常的度量保持函数以及保持 $\mathbb{R}$ 上欧几里得度量的函数进行比较与对照。特别地，证明了 $f \circ d_p$ 在 $\mathbb{Q}_p$ 上仍是一个超度量当且仅当存在一个函数 $g$ 使得 $f \circ d_p = g \circ d_p$ 且对每一个超度量 $d$ 都有 $g \circ d$ 仍是一个超度量。最后这一命题的一些一般变体也得到了证明。