模 $p^2$ 意义下模形式的 θ 循环

模素数 $p \geq 5$ 意义下模形式的 θ 循环已被充分理解。相比之下，模 $p$ 的幂意义下的 θ 循环仍然神秘且实验上表现出不规则性。在此，我们完全确定了权 $k < p$ 的模形式在模 $p^2$ 意义下长度为 $p$ 的初始段上的 θ 循环，并证明了 $p - 2$ 个进一步长度为 $p - k + 1$ 的段上权滤过的精确值或非平凡界。特别地，当 $p \to \infty$ 时渐近地，我们精确确定了 θ 循环的 50%，并为 100% 的部分提供了非平凡界。我们精确确定了前两个低点以及 $\left\lfloor \frac{p - k + 1}{2} \right\rfloor$ 个更多位于规则位置的低点。此外，我们在例外位置检测到低点，这些低点求解模 $p$ 意义下的二次方程，并扰乱了我们在所展示段中否则规则的结构。