关于模素数幂的模形式上的 theta 算子

我们考虑模 $p^m$ 且级数 $N$ 与 $p$ 互素的模形式上的经典 theta 算子 $\theta$，其中 $p$ 为大于 3 的素数。我们的主要结果是，$\theta$ mod $p^m$ 会将权为 $k$ 的形式映射为权为 $k+2+2p^{m-1}(p-1)$ 的形式，并且当 $m$ 至少为 2 时，该权在某些情况下是最优的。因此，$\theta$ mod $p^m$ 应映射为权 $k+2+p^{m-1}(p-1)$ 的自然预期被证明是错误的。本研究的主要动机在于，将 $\theta$ 算子应用于 mod $p^m$ 的本征形式对应于用分圆特征扭曲附带的 Galois 表示。我们对 mod $p^m$ 的 $\theta$ 算子的构造给出了模 $p^m$ 的 Galois 表示被分圆特征扭曲后的显式权上界。