伽罗瓦表示的约化与 theta 算子

设 $p\ge 5$ 为素数，设 $f$ 为权至少为 $2$、水平与 $p$ 互素、有限斜率 $\alpha$ 的尖点本征形式。令 $\bar{\rho}_f$ 表示与 $f$ 相伴的 mod $p$ 伽罗瓦表示，$\omega$ 为 mod $p$ 分圆特征标。在对 $f$ 的权作一假设下，我们证明存在权至少为 $2$、水平与 $p$ 互素、斜率为 $\alpha+1$ 的尖点本征形式 $g$，使得$$\bar{\rho}_f \otimes \omega \simeq \bar{\rho}_g,$$直至半化简。证明使用了 Hida-Coleman 族以及作用于过收敛形式上的 theta 算子。与斜率在区间 $[0,1)$ 内的尖点形式相伴的局部伽罗瓦表示的约化结构已由 Deligne、Buzzard 和 Gee 确定，而斜率在 $[1,2)$ 内的由 Bhattacharya、Ganguli、Ghate、Rai 和 Rozensztajn 确定。我们证明这些约化尽管具有某种复杂的性态，仍与上述所示方程相容。此外，上述所示方程使我们能够预测一类斜率大于 $2$ 的本征形式所依附的伽罗瓦表示的约化形状。最后，本文的方法使我们能够获得某些 Coleman 族半径的上界。