单位圆上的正交多项式与空间离散 Painlevé II 方程

我们考虑在复平面单位圆上关于权 $\exp(\sqrt{\lambda} (z+ 1/z)) dz/2 \pi i z$ 正交的多项式 $\phi_n(z)= \kappa_n (z^n+ b_{n-1} z^{n-1}+ >...)$。发现首项系数 $\kappa_n$ 满足一个差分-微分（空间离散）方程，并进一步证明其在双标度极限下趋近于一个三阶微分方程。该三阶微分方程等价于 Painlevé II 方程。$\phi_n(z)$ 的首项系数与次首项系数可用 Painlevé II 函数渐近表示。