关于 Hermite 乘积下的正交性、KP 波函数及双谱对易

众所周知，对于 KP 层次结构中的任意波函数 $\psi(x,z)$，都存在另一个称为其“伴随波函数”的波函数，其关于 $z$ 的乘积沿任意足够大的闭合路径的路径积分为零。对于 adelic Grassmannian 中的波函数 ${\rm Gr}^{\rm ad}$，双谱对易交换 $x$ 和 $z$ 的角色，也意味着存在一个“$x$-伴随波函数” $\psi^{\star}(x,z)$，使得波函数、$x$-伴随函数与 Hermite 权重 ${\rm e}^{-x^2/2}$ 的乘积无残留。利用这一点，我们展示了 ${\rm Gr}^{\rm ad}$ 中任意 KP 波函数及其在双谱对易映像下（在 $t_2=-\frac{1}{2}$ 处）的系数函数序列在 Hermite 乘积下始终是“准双正交”的。序列是否具有更强的（近似）正交性可通过 KP 流和双谱对易轻松确定。作为一个特殊案例，可以在此方式下恢复异常 Hermite 正交多项式。这既为异常 Hermite 正交多项式的生成函数具有特殊 KP 波函数这一事实提供了概括与解释。此外，一个新奇发现是，相同的 KP 波函数既是生成函数，又可在 $t_1=1$ 和 $t_2=0$ 处评估其范数作为生成函数。主要结果使用满足秩一条件的 Calogero-Moser 矩阵证明。相同结果也适用于“旋率-广义”Calogero-Moser 矩阵，这些矩阵产生矩阵正交的实例。