关于某些正交多项式生成函数的特殊性质

我们证明，对于 |x|,|t|<1, -1 <q \leq1 且 n\geq0：\Sigma_{i\geq0}((t^{i})/((q)_{i}))h_{n+i}(x|q) = h_{n}(x|t,q) \Sigma_{i\geq0}((t^{i})/((q)_{i}))h_{i}(x|q)，其中 h_{n}(x|q) 和 h_{n}(x|t,q) 分别是所谓的 q-Hermite 多项式和大 q-Hermite 多项式，(q)_{n} 表示所谓的 q-Pochhammer 符号。我们证明了涉及大 q-Hermite 多项式与 Al-Salam---Chihara (ASC) 多项式，以及 ASC 多项式与所谓的连续对偶 q-Hahn (c2h) 多项式的类似等式。此外，我们能够以这种方式关联其他一些“普通”正交多项式，例如 Hermite、Chebyshev 或 Laguerre 多项式。这些等式为所涉及的多项式提供了新的解释，并且可以产生一种生成越来越普遍（即涉及越来越多参数）的正交多项式族的简单方法。我们提出了关于 Askey--Wilson 多项式及其可能推广的一些猜想。我们证明了这些猜想在 q = 1（经典情形）和 q = 0（自由情形）的情况下成立，从而至少在这两种情况下为 AW 多项式的推广铺平了道路。