正积分算子的 Orlicz-Lorentz 规范泛函不等式（修订版）

设 $f \in M_+(\R_+)$，即 $\R_+=(0, \infty)$ 上非负、Lebesgue 可测函数类。我们处理形如 $$(T_Kf)(x)=\int_{\R_+}K(x,y)f(y)\, dy, \quad x \in \R_+,$$ 的积分算子，其中 $K \in M_+(\R_+^2)$。我们关注不等式 $$\rho_{1}((T_Kf)^*)\leq C\rho_2(f^*),$$ 其中 $\rho_1$ 与 $\rho_2$ 是作用于函数 $h \in M_+(\R_+)$ 的泛函，且 $$h^*(t)=\mu_h^{-1}(t), \quad t \in \R_+,$$ 这里 $$\mu_h(\lambda)=|\{x \in \R_+: \, h(x)> \lambda\}|, \lambda \in \R_+.$$ 具体地，$\rho_1$ 与 $\rho_2$ 是所谓类型的 Orlicz-Lorentz 规范泛函 $$\rho(h)=\rho_{\Phi, u}(h)=\inf\left\{\lambda>0:\, \int_{\R_+}\Phi\left(\frac{h(x)}{\lambda}\right)u(x)\, dx \leq 1\right\}, \quad h \in M_+(\R_+);$$ 其中 $\Phi(x)=\int_0^x\phi(y)\, dy$，$\phi$ 为将 $\R_+$ 映到自身上的增函数，且 $u\in M_+(\R_+)$。