不可压缩流的最优壁到壁输运

我们考虑由无散度速度矢量场 $\mathbf{u}$ 实现的被动示踪物的壁到壁输运。给定涡量平方积分预算 $\langle |\nabla \mathbf{u}|^{2} \rangle \le Pe^{2}$，我们构造了稳态二维流，在大涡量平方积分极限下以 $Nu(\mathbf{u}) \gtrsim Pe^{2/3}/(\log Pe)^{4/3}$ 的速率输运。结合任何此类受涡量平方积分约束的流已知的 $Nu(\mathbf{u})\lesssim Pe^{2/3}$ 上限，我们得出结论：最大输运流满足 $Nu\sim Pe^{2/3}$，直至可能的对数修正。结合瑞利-贝纳尔对流中已知的输运界限，这确立了尽管存在接近“终极”热输运标度 $Nu\sim Ra^{1/2}$ 的合适流动，但它们并非总能实现为浮力驱动流。该结果通过利用壁到壁最优输运问题与材料科学中能量驱动图案形成研究产生的密切相关的一类奇异扰动变分问题之间的联系而获得。