纤维最优传输拓扑中的异质梯度流

我们在纤维丛上概率测度空间引入一种最优传输拓扑，其对从一个纤维到另一纤维的传输代价进行惩罚。为简洁起见，我们在欧几里得情形 $\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d$ 中阐明我们的构造，其中我们对第二分量中的二次代价进行惩罚。最优传输于是被约束为沿固定纤维发生。尽管代价是无穷值且不连续的退化情形，我们证明在第二分量中具有固定边缘 $\nu\in \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$ 的概率测度空间 $(\mathcal{P}_{2,\nu}(\mathbb{R}^{2d}),W_{2,\nu})$ 在纤维传输距离下成为 Polish 空间，其享有弱黎曼结构，令人想起 F. Otto 为经典二次 Wasserstein 空间所提出的结构。我们处理了三个基本问题：1) 我们发展了关于新拓扑的梯度流抽象理论；2) 我们展示应用，在一大类具有异质性的演化 PDE 上辨识出新颖的纤维梯度流结构；3) 我们利用我们的方法推导多维具有弱奇异耦合的 Cucker-Smale 型对齐模型中的长时间行为与全局时间平均场极限。