Vlasov-Poisson-Fokker-Planck 方程在低正则性空间中的最优稳定性阈值

本文研究了带有弱 Fokker-Planck 碰撞的 Vlasov-Poisson 方程的最优稳定性阈值。我们证明，如果初始扰动在关键加权空间 $H_x^{\log}L^2_{v}(\langle v\rangle^m)$ 中的大小为 $\nu^{\frac{1}{2}}$，则解在同一空间中保持相同大小。此外，我们证明了一种时空类型 Landau 衰减，即 $||E||_{L^2_tL^2_x}\lesssim \nu^{\frac{1}{2}}$；以及一种点类型 Landau 衰减，即 $||E(t)||_{L^2}\lesssim \nu^{1/2}\langle t\rangle^{-N}$ 对任意 $N>0$ 且 $t\geq \nu^{-1}$ 成立。我们还证明，在 $H^{1}_xL^2_v(\langle v\rangle^m)$ 中的初始扰动大小为 $\nu^{\frac12-\frac32\epsilon_0}$（其中任意 ${\epsilon_0>0}$），使得在下列意义上增强耗散失效：存在 $0<T\ll \nu^{-\frac13}$，使得\n\n\begin{align*}\n||\langle v\rangle^m f_{\neq}(T)||_{L^2_xL^2_v}\gtrsim \frac{1}{\nu^{\delta_1}}||\langle v\rangle^m f_{\neq}(0)||_{ H^1_xL^2_v}\n\end{align*}\ \n\n其中存在某个 $\delta_1>0$。该论文解决了 [Bedrossian; arXiv: 2211.13707] 中关于低正则性空间中锐利稳定性阈值的开放问题。其主要思想是构造一个具有非常精确表达式的波算子 $\mathbf{D}$ 来吸收非局部项，即\n\n\begin{align*}\n\mathbf{D}[\partial_tg+v\cdot \nabla_x g+E\cdot\nabla_v \mu]=(\partial_t +v\cdot \nabla_x)\mathbf{D}[g].\n\end{align*}