二维 Pfaff 系统的最优正则性及曲面理论基本定理

我们证明，在 $\mathbb{R}^2$ 的单连通开子集上，系数属于临界空间 $L^2_\mathrm{loc}$ 的 Pfaff 系统，若系数为反对称并满足相容性条件，则在 $W^{1,2}_\mathrm{loc}$ 中具有非平凡解。作为该结果的应用，我们表明曲面理论基本定理对分别属于类 $W^{1,2}_\mathrm{loc}$ 和 $L^2_\mathrm{loc}$ 的具有最优正则性的给定第一和第二基本形式成立，它们满足等价于 Gauss-Codazzi-Mainardi 方程的相容性条件。最后，我们给出 $W^{2,2}_\mathrm{loc}$ 类中曲面浸入的弱紧致性定理。