Finsler $p$-Dirichlet 积分的最优 Hardy 权

固定整数 $n\geq 2$, 指数 $1<p<\infty$, 域 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$。设 $\Omega^{*}\triangleq\Omega\setminus\{\hat{x}\}$ 其中 $\hat{x}\in\Omega$。在一些进一步条件下，我们构造了关于 Finsler $p$-Dirichlet 积分\n$$Q_{0}[\phi;\Omega^{*}]\triangleq\int_{\Omega^{*}}H(x,\nabla \phi)^{p}\,\mathrm{d}x\quad \mbox{on}\quad C^{\infty}_{c}(\Omega^{*}),$$\n以及带势的 Finsler $p$-Dirichlet 积分\n$$Q_{V}[\phi;\Omega]\triangleq\int_{\Omega}\left(H(x,\nabla \phi)^{p}+ V|\phi|^{p}\right)\,\mathrm{d}x\quad \mbox{on}\quad C^{\infty}_{c}(\Omega),$$\n其中 $H(x,\cdot)$ 是关于 $\mathbb{R}^{n}$ 的一族范数，以 $x\in\Omega^{*}$ 或 $x\in\Omega$ 为参数，势 $V$ 落在局部 Morrey 空间 $M^{q}_{{\rm loc}}(p;\Omega)$ 的子空间 $\widehat{M}^{q}_{{\rm loc}}(p;\Omega)$ 中。