电动汽车的最优能量路径

一个带权有向图$G=(V,A,c)$，其中$A\subseteq V\times V$且$c:A\to R$，描述了一辆电动汽车可行驶的路网。一条弧$uv$建模连接两个顶点$u$和$v$的道路段。弧$uv$的代价$c(uv)$是汽车穿越该弧所需的能量值。该值可为正、零或负。为使问题切合实际，我们假设不存在负环。汽车拥有一块最多可存储$B$单位能量的电池。它仅当位于$u$且电池电量$b$满足$b\ge c(uv)$时才能穿越弧$uv\in A$。若穿越该弧，它以$\min(b-c(uv),B)$的电量到达$v$。具有正代价的弧消耗电池，具有负代价的弧为电池充电，但不超过其容量$B$。给定$s,t\in V$，汽车能否从$s$出发以初始电量$b$（其中$0\le b\le B$）行驶到$t$？若可以，汽车到达$t$时所能具有的最大电量是多少？等价地，最小的$\delta_{B,b}(s,t)$是多少，使得汽车能以$b-\delta_{B,b}(s,t)$的电量到达$t$，且汽车应遵循哪条路径来实现这一点？我们将$\delta_{B,b}(s,t)$称为从$s$到$t$行驶的能量代价。若汽车无法以初始电量$b$从$s$行驶到$t$，我们令$\delta_{B,b}(s,t)=\infty$。计算能量代价的问题是标准最短路径问题的严格推广。我们展示了单源最小能量路径问题可通过Bellman-Ford和Dijkstra算法的简单但精妙的改造来求解。为使Dijkstra算法在存在负弧但无负环的情况下工作，我们使用$A^*$搜索启发式的一个变体。这些结果在一些先前论文中是显式或隐式的。我们提供了这些算法的更简洁且统一的表述。