任意消息长度下私有信息检索的最优下载代价

私有信息检索方案是一种机制，允许用户从 $N$ 个互不通信的复制数据库中检索 $K$ 条消息中的任意一条，每个数据库存储全部 $K$ 条消息，且不向任何单个数据库泄露所需消息索引的身份信息。若每条消息大小为 $L$ 比特，一个 PIR 方案从所有 $N$ 个数据库所需的总下载量为 $D$ 比特，则称 $D$ 为下载代价，比值 $L/D$ 称为可达速率。对于固定的 $K,N\in\mathbb{N}$，PIR 的容量记为 $C$，是所有 PIR 方案和所有消息大小下可达速率的上确界，最近被证明为 $C=(1+1/N+1/N^2+\cdots+1/N^{K-1})^{-1}$。本文针对任意 $K, N$，在消息和下载符号的字母表任意选择（不限于有限域）下，探索任意消息长度 $L$ 下所有 PIR 方案（不限于线性方案）的最小下载代价 $D_L$。若消息和下载符号使用相同的 $M$ 元字母表，我们证明以 $M$ 元符号计的最优下载代价为 $D_L=\lceil\frac{L}{C}\rceil$。若消息符号为 $M$ 元字母表而下载符号为 $M'$ 元字母表，我们证明以 $M'$ 元符号计的最优下载代价 $D_L\in\left\{\left\lceil \frac{L'}{C}\right\rceil,\left\lceil \frac{L'}{C}\right\rceil-1,\left\lceil \frac{L'}{C}\right\rceil-2\right\}$，其中 $L'= \lceil L \log_{M'} M\rceil$。