带跳变与随机系数的随机微分方程的最优控制：带跳的随机哈密顿-雅可比-贝尔曼方程

本文研究如下带跳的非线性倒向随机积分偏微分方程 \begin{equation*} \left\{ \begin{split} -d V(t,x) =&\displaystyle\inf_{u\in U}\bigg\{H(t,x,u, DV(t,x),D \Phi(t,x), D^2 V(t,x),\int_E \left(\mathcal I V(t,e,x,u)+\Psi(t,x+g(t,e,x,u))\right)l(t,e)\nu(de)) \\ &+\displaystyle\int_{E}\big[\mathcal I V(t,e,x,u)-\displaystyle (g(t, e,x,u), D V(t,x))\big]\nu(d e)+\int_{E}\big[\mathcal I \Psi(t,e,x,u)\big]\nu(d e)\bigg\}dt\\ &-\Phi(t,x)dW(t)-\displaystyle\int_{E} \Psi (t, e,x)\tilde\mu(d e,dt),\\ V(T,x)=& \ h(x), \end{split} \right. \end{equation*} 其中$\tilde \mu$为泊松随机鞅测度，$W$为布朗运动，$\mathcal I$为稍后指定的非局部算子。函数$H$为给定的随机映射，源于相应的非马尔可夫最优控制问题。该方程表现为随机哈密顿-雅可比-贝尔曼方程，刻画了具有递归效用成本泛函的最优控制问题的价值函数。方程的解是一个可预测随机场三元组$(V,\Phi,\Psi)$。我们证明在若干正则性假设下，价值函数即为随机HJB方程的解；且该方程的经典解即为价值函数并给出最优控制。在对系数附加一些假设后，通过将带跳的倒向随机偏积分微分方程重新表述为希尔伯特空间中带泊松跳的倒向随机演化方程，给出了索伯列夫空间意义下的存在唯一性结果。