径向对称环境下的鞅最优控制

我们研究了具有固定二次变差的连续多维鞅的随机控制问题。在径向对称环境下，我们能够找到该控制问题的显式解并求得最优策略。我们证明了仅在受控过程半径的依赖下于两种策略之间进行切换是最优的。这些最优策略对应于纯径向运动和纯切向运动。值得注意的是，即使在切换到切向运动（此时最优过程的半径是确定性的）时，值函数仍表现出平滑拟合。在成本函数具有充分正则性的条件下，我们通过 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的粘性解证明了最优性。我们将结果推广到在原点可能变为无穷大的成本函数。在这种情况下求解控制问题需要格外小心，因为尚不清楚如何在原点定义具有确定性半径的最优策略。我们的结果推广了随机投资组合理论和鞅最优输运中近期考虑的一些问题。