拟线性抛物方程的最优控制及其时间离散化

本文讨论了一类拟线性抛物状态方程的最优控制。其形式借鉴了例如在控制作为晶体生长模型的各向异性 Allen-Cahn 方程时所出现的那类问题。受此应用启发，我们将状态方程视为某能量泛函梯度流的结果。拟线性项强单调并满足一定的增长条件，低阶项非单调。状态方程在时间上以分段常数函数作隐式离散。我们证明了控制到状态算子的存在性及其 Lipschitz 连续性，分别对时间离散问题和时间连续问题成立；后者基于离散解的收敛性证明。最后我们给出了两者的全局极小元存在性。还可证明时间离散最优控制的一个子序列收敛到时间连续问题的全局极小元。我们的结果在任意空间维数下均成立。