单势阱势下基本谱隙的最优界

我们刻画了使如下 Sturm-Liouville 算子的两个最低本征值之间的谱隙 $\Gamma$ 最小化的势能函数 $V(x)$：$$H(p,V) u := -\frac{d}{dx} \left(p(x)\frac{du}{dx}\right)+V(x) u = \lambda u, \quad\quad x\in [0,\pi ],$$其中在端点施加分离的自伴边界条件，且 $V$ 满足若干假设，特别是凸性或具有“单势阱”形式。在 $p=1$ 的经典情形中，我们用不同论证重新得到了 Lavine 的结果，即 among convex $V$ 中 $\Gamma$ 由常数势唯一最小化；而在单势阱势情形中，对极小值位置无任何限制，我们得到了一个新的锐界：$\Gamma > 2.04575\dots$。