开滤子与可测基数

本文研究给定空间 $X$ 上自由开滤子构成的偏序集 $\mathbf{OF}(X)$。特别地，我们刻画了使 $\mathbf{OF}(X)$ 成为格的空间。对每个 $n\in\mathbb{N}$，我们构造一个散空间 $X$，使得 $\mathbf{OF}(X)$ 序同构于 $n$ 元链，这给出了 Mooney 两个问题的肯定回答。在假设 CH 下，我们构造一个散空间 $X$，使得 $\mathbf{OF}(X)$ 序同构于 $(\omega+1,\geq)$。为证明后者，我们引入并研究了一类依赖于 $\beta(\kappa)$ 的散子空间的新超滤子分层。假设存在 $n$ 个可测基数，对任一 $m_0,\ldots,m_{n}\in\mathbb N$，我们构造空间 $X$ 使得 $\mathbf{OF}(X)$ 序同构于 $\prod_{i=0}^nm_i$。此外，我们证明：存在一个具有自由 $\omega_1$-完全闭、 $G_\delta$、 $F_{\sigma}$ 或 Borel 超滤子的度量空间，等价于存在一个可测基数。