关于流形的 $\mathcal{Z}$-紧化性

1976 年,Chapman 与 Siebenmann \cite{CS76} 建立了 Hilbert 立方体流形可 $\mathcal{Z}$-紧化的充分必要条件。虽然这些条件已知是流形 $M^n$ 允许 $\mathcal{Z}$-紧化的必要条件,但它们是否也是充分条件仍是一个悬而未决的问题。Guilbault 与本文作者 \cite[Thm. 1.2]{GG20} 证明了这些条件对乘积 $M^n \times [-2,2]$（$n\geq 5$）的 $\mathcal{Z}$-紧化性是充分的。我们进一步探讨了这一主题,引入附加条件,使得 $M^n \times [-2,2]$ 的 $\mathcal{Z}$-紧化确实蕴含 $M^n$ 的 $\mathcal{Z}$-紧化,从而部分解决了这一公开问题。作为应用,我们证明了存在无穷多个不可伪领圈化的 4 维流形是 $\mathcal{Z}$-可紧化的;然而,维数至少为六且具有紧致边界的伪领圈化流形是 $\mathcal{Z}$-可紧化的。此外,我们还研究了 $\mathcal{Z}$-紧化性与非球面流形的拓扑刚性之间的联系。我们还构造了一个满足受控 Mather-Thurston 定理的非紧单侧 $s$-配边 $(W,V,V^{\ast})$,其中 $V$ 是 $\mathcal{Z}$-可紧化的,而 $V^{\ast}$ 可能不是。