关于球面中极小子流形的丘成桐刚性定理

在这篇笔记中，我们研究了球面中极小子流形著名的丘成桐刚性定理。利用丘成桐的参数方法以及由陆、葛和唐验证的 DDVV 不等式，我们证明：若 $M$ 是单位球面 $S^{n+p}(1)$ 中的一个 $n$ 维定向紧致极小子流形，且若 $K_{M}\geq\frac{sgn(p-1)p}{2(p+1)}$，则 $M$ 要么是一个全测地球面，要么是两个球面乘积的标准浸入，要么是 $S^4(1)$ 中的 Veronese 曲面。这里 $sgn(\cdot)$ 是标准符号函数。我们还将上述刚性定理推广到 $M$ 是空间形式中具有平行平均曲率的紧致子流形的情形。