关于 $\mathbb{T}^3$ 上三次-五次非线性薛定谔方程适定性结果

我们考虑三维环面 $\mathbb{T}^3$ 上的周期三次-五次非线性薛定谔方程 \begin{align}\label{cqnls_abstract} (i\partial_t +\Delta )u=\mu_1 |u|^2 u+\mu_2 |u|^4 u\tag{CQNLS} \end{align}，其中 $\mu_1,\mu_2\in \mathbb{R} \setminus\{0\}$。作为首个结果，我们建立了对任意给定 $\mu_1$ 与 $\mu_2$ 的 \eqref{cqnls_abstract} 小数据适定性。通过将 \cite{zhang2006cauchy} 中关键的微扰论证适配至周期情形，我们还证明了在 $\mu_2>0$ 情形下 \eqref{cqnls_abstract} 在 $H^1(\mathbb{T}^3)$ 中总是整体适定的。