关于射影空间乘积中点的虚拟解消

对于 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ 中的有限点集，我们构建了由 Berkesch--Erman--Smith 引入的短虚拟解消。首先，我们将 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ 中的点与一组变量的足够高次幂相交，以生成长度为 $n+m$ 的虚拟解消。然后，通过自由解消的子复形，我们描述了 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^2$ 中处于充分一般位置的点集的显式长度为 3 的虚拟解消。第一个结果推广了 Harada--Nowroozi--Van Tuyl 关于 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ 的工作，第二个结果部分推广了 Harada--Nowroozi--Van Tuyl 和 Booms-Peot 针对 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 的工作。在此过程中，我们还指出了 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ 的 Betti 数与双分次 Hilbert 函数的高阶差分矩阵之间的显式关系。