虚 Cohen--Macaulay 层同调与组合方面的研究

在研究光滑射影环面簇 $X$ 的 Cox 环上的分次模 $M$ 时，通常使用两类标准分解来获取信息：$M$ 的自由分解及其层化后的向量丛分解。每种方法都有其自身的困难。自由分解无法编码某些几何信息，而向量丛分解则难以用代数与组合技巧来研究。近来，Berkesch、Erman 与 Smith 引入了虚拟分解，其既捕获了理想的几何信息，又适于代数与组合研究。虚拟分解理论包含虚 Cohen--Macaulay 性质的概念，尽管用于判定哪些模是虚 Cohen--Macaulay 的工具才刚刚开始发展。本文以两种相关方式推进该研究纲领。其一是，当 $X$ 为射影空间之积时，我们构造了一大类的虚 Cohen--Macaulay Stanley--Reisner 环，并通过反映底层组合结构的适当虚拟分解的显式构造证明其为虚 Cohen--Macaulay。其二是，对任意光滑射影环面簇 $X$，我们发展了用于判定虚 Cohen--Macaulay 性质的同调工具。其中部分工具给出排除性判据，另一些则是构造适当短虚拟分解的方法。我们还利用这些工具建立了算术、几何与虚 Cohen--Macaulay 性质之间的关系。