Segre 积与非遗传表示型 Cohen-Macaulay 环的非交换分解

我们研究其 Cohen-Macaulay 表示论由箭图表示控制的交换 Cohen-Macaulay 环,称之为遗传表示型。基于倾斜理论与簇倾斜理论,我们构造了一些遗传表示型的交换 Cohen-Macaulay 环。首先,我们给出当两个交换 Gorenstein 环各自具有此类对象时,其 Segre 积上存在簇倾斜模或非交换 crepant 分解的一般存在定理。作为应用,我们得到了源自多项式环 Segre 积的三个遗传表示型 Gorenstein 环例子。接着我们引入推广数值半群环并构成一类一维 Cohen-Macaulay 非整环的扩展数值半群环,并在其中给出了一族遗传表示型 Gorenstein 环。此外,我们讨论了一个 $4$ 维非 Gorenstein 的 Cohen-Macaulay 环,其表示仍由有限维遗传代数控制。我们证明它有唯一的 $2$-簇倾斜对象,并给出刚性 Cohen-Macaulay 模的完整分类,结果仅有有限多个。