L_0(X) 中标量收敛的几种模式

取值于 Banach 空间 $\X$ 的强可测函数列 $\{f_n\}$ 称为几乎处处标量零（相应地，依测度标量零），如果对每个 $x^*\in \X^*$，有 $x^*f_n \rightarrow0$ 几乎处处（相应地，$x^*f_n \rightarrow 0$ 依测度）。设 $1\le p\le \infty$。本文处理的主要问题是：一个 $L_p(\X)$-有界且几乎处处标量零的序列是否弱收敛几乎处处（或有一子序列弱收敛几乎处处），以及一个 $L_p(\X)$-有界且依测度标量零的序列是否有一子序列几乎处处标量零。对这些及其他类似问题的回答依赖于 $p$ 以及 $\X$ 的几何。