Banach 空间中序列的算子可和性

设 $1 \leq p <\infty$。Banach 空间 $X$ 中的序列 $\lef x_n \rig$ 被定义为 $p$-算子可和的，如果对于每个 $\lef f_n \rig \in l^{w^*}_p(X^*)$，都有 $\lef \lef f_n(x_k)\rig_k \rig_n \in l^s_p(l_p)$。Banach 空间中的每个范数 $p$-可和序列都是算子 $p$-可和的，而反过来，每个算子 $p$-可和序列都是弱 $p$-可和的。若对于每个 $\lef x_n \rig \in l_p^w(X)$，$\lef Tx_n \rig$ 是算子 $p$-可和的，则称算子 $T \in B(X, Y)$ 为 $p$-受限的。所有 $p$-受限算子的集合构成一个赋范算子理想。研究表明，$X$ 中的每个弱 $p$-可和序列都是算子 $p$-可和的，当且仅当每个算子 $T \in B(X, l_p)$ 都是 $p$-绝对可和的。另一方面，$X$ 中的每个算子 $p$-可和序列都是范数 $p$-可和的，当且仅当 $B(l_{p'}, X)$ 中的每个 $p$-受限算子都是绝对 $p$-可和的。此外，这种情况成立当且仅当 $X$ 是某个 Borel 测度 $\mu$ 下的 $L_p(\mu)$ 的子空间。