一类二阶随机微分方程的唯一性与爆破性质

作为研究带乘性噪声的随机波动方程解的唯一性与爆破性质的第一步，我们分析了方程 $dX_t= Y_tdt$、$dY_t = |X_t|^\alpha dB_t$、$(X_0,Y_0)=(x_0,y_0)$ 的解 $(X_t,Y_t)$ 的唯一性与爆破性质的条件。特别地，我们证明当 $0<\alpha<1$ 且 $(x_0,y_0)=(0,0)$ 时解不唯一，而当 $1/2<\alpha<1$ 且 $(x_0,y_0)\neq(0,0)$ 时解唯一。我们还证明了当 $\alpha>1$ 且 $(x_0,y_0)\neq(0,0)$ 时，有限时间内爆破成立。