关于$(r,\rho(R))$-温和空间的拓扑复杂度

本文首先在$DGA(R)$（resp. $CDGA(R)$）范畴中证明了态射的相对自由模型（resp. 相对交换模型）的存在性，其中$R$是包含$\frac{1}{2}$的主理想整环。接着，我们限制在$(r,\rho(R))$-H-温和代数的范畴，并遵循Carrasquel的刻画，引入了满射态射的截面范畴$secat(-, R)$。然后，我们将其应用于有限型$(r,\rho(R))$-温和CW复形的交换模型的$n$重积，以引入$TC_n(X,R)$、$mTC_n(X,R)$和$HTC_n(X,R)$，这些推广了众所周知的有理拓扑复杂度。我们对$\operatorname{sc(-, \mathbb{Q})}$做同样处理，以引入代数上的类似物$\operatorname{sc(-,R)}$（基于其上的交换模型），并证明它是$secat(-, R)$的上界。这也为任何$(r,\rho(R))$-温和CW复形产生了代数$tc_n(X,R)$、$mtc_n(X,R)$和$Htc_n(X,R)$，并研究了它们与同调幂零性的关系。在最后一节中，以同样的精神，我们在$DGA(R)$中引入了$secat(-, R)$、$\operatorname{sc(-,R)}$及其拓扑对应物。然后我们特别证明了$ATC_n(X,R)\leq TC_n(X,R)$和$Atc_n(X,R)\leq tc_n(X,R)$。