无挠阿贝尔群扩张的分类问题，I

设 $C,A$ 为可数阿贝尔群。在本文中，我们确定了在 $C$ 为无挠且 $A$ 为 $p$-群、具有有界准素分支的挠群、或某个子环 $R\subseteq \mathbb{Q}$ 上的自由 $R$-模的情况下，分类 $C$ 被 $A$ 的扩张的复杂度。确切地说，对于这样的 $C$ 和 $A$，我们用 $C$ 和 $A$ 描述了在Borel复杂度理论意义下 $C$ 被 $A$ 的扩张的同构等价关系 $\mathcal{R}_{\mathbf{Ext}\left( C,A\right) }$ 的潜在复杂度类。这补充了同一作者先前的结果，该结果解决了 $C$ 为挠群且 $A$ 任意的情况。我们在近期与Bergfalk和Panagiotopoulos合作引入的Borel可定义同调代数框架内确立了主要结果。作为我们主要结果的推论，我们将得到：若 $C$ 为无挠且 $A$ 为自由 $R$-模或具有有界分支的挠群，则 $C$ 被 $A$ 的扩张分裂当且仅当它在 $C$ 的所有有限秩子群上分裂。这是一个纯粹代数陈述，却用Borel可定义同调代数的方法得到。